当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

在

(1) 若(2)

若

即

2． 设可微函数列

对意

且m

个小区间上收敛，所以对于点

对任意

必存在某小区间在

在

在则取；

则

因

上收敛

，上作分割

的区间长度

存在N , 使得当使

满足

时，对任意

有

因为(/»:在

在

上一致有界，证明：

对一切

在

上一致收敛.

均有

则

故由零点存在定理知，存

在

使

得

上连续，且

证明则

使，上连续，

因

故

【答案】

作

【答案】依题意

，

上一致有界，

故存在

及任意

由微分中值定理，可得

即对任意从而

在

存在N , 当]上一致收敛.

时，对任意. ，有

3． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a，b]内可积，证明:对[a，b]内任意分割

有

【答案】由积分的定义知

且

由于

可积，所以

(

所以

所以原命题成立.

4． 设f 在

【答案】设

上连续

证明：存在

中最小者为

最大者为

使得

则有

若若

理，可以得知存在

或.

对

则取在区间使得

就能满足题中要求.

上应用连续函数的介值性定为振幅)

二、解答题

5． 试问集合

与集合

是否相同？

【答案】给出的两个集合是不相同的，第一个集合挖去了两条线

段

第二个集合挖去了一个点(a , b) .

6． 举例说明：瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛。

故瑕积分

收敛，但

故瑕积分

发散

7． —个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水. 试问把水抽尽需作多少功？

【答案】如图10-20所示，功的微元为

故所求的功为

图

8． 试求下列极限(包括非正常极限) ：

【答案】(1) 因为当故

(4) 由于当

时，

时，