当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

由

于

从而可知

2． 求证

：

在

上一致收敛. 可得

又

收敛，由M 判别法即得原级数在

先求函数

上一致收敛.

为奇函数，只需讨论

的

即

在

上可微，且

则

，因

此

为

证明：在

上的单调递减函数，所

以

【答案】令

【答案】方法一：由

方法二：记情形

.

的最大值，由于

又

故

是函数

的最大值点. 因此

3． 设

在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明：

其中

是

沿L 外法线方向n 的方向导数.

所以

因为

在D 上具有连续偏导数，由格林公式得

第 2 页，共 25 页

【答案】因为

故

4． 设

符号一致. 又因为

的最大零点为所以

证明因此

【答案】因为是f (x ) 的最大零点，所以f (x ) 在上恒正或恒负. 即的

二、解答题

5． 计算曲线积分

其中L 是曲线

从z 轴的正向往负向看去L 的方向是顺时针方向. 【答案】方法一(用参数方程求解) 令故

方法二：(用斯托克斯公式求解) 设S 为平面x-y+z=2上以L 为边界的有限部分，其法向量与z 轴正向的夹角为钝角. 则

由斯托克斯公式可得

其中 6．

设

为

证明

为常值函数。

第 3 页，共 25 页

则

为S 在xy 平面的投影域，即记

上连续函数，且对任一满

足

的连续函

数

有

【答案】令

则

在

上连续，且

由题设有

于是

从而

即

为常数。

7． 为了使曲线积分

【答案】这里

与积分路线无关，可微函数

则该积分与路线无关

8． 设

（2）对

可找到相应的N ，这是否证明了趋于0? 应该怎样做才对；

由

设

即可. 所以，当

当

这个不等式成立的一个充分条

时，相应的时，相应的

求得

定

（1）对下列分别求出极限定义中相应的N :（3）对给定的是否只能找到一个N? 【答案】（1）对任意

件为

当

即

因此取时，相应的

应满足怎样的条件？

（2）在（1）中对义，

对任意正数

都找到了相应的N. 这不能证明趋于0, 应该根据数列极限

都找到相应的N. 对于本题，

由

第 4 页，共 25 页

这样才能证明