当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得

【答案】不妨设

令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而

若若

则由上式•则必大于0, 于是

由介值性定理，存在

使得

即

2． 证明：若与都在下确界，则必存在某实数

【答案】设

上可积，且

使得因

在

上不变号，

所以有

由定积分的不等式性质，得

若

则由上式知

从而对任何实数

若

则

得

令

则

且

均有

分别为

在

上的上、

于是任取

即可.

3． 设常数A ，B ，C 满

足

变为方程

程

的两个不同实根.

【答案】由已知得关系式

于是

同理

将其代入方程中整理得

由已知条件，原方程变为

所以有

由为方程

4． 设正项级数

(1) (2) 由

发散.

用分点单调性，得

从而

当

时，

即得结论.

因单调下降且趋于0, 及

发散.

故级数

分成无限个小区间，在

上，

及

知，一元二次方程

有两个不等的实根，而由前两个方程知

，且线性变

换

其中u (x ，y ) 具有二阶连续偏导数. 证明：

把方

程

为方

的两个根，由第三个不等式知发散

，

令

求证：

【答案】(1) 把

(2) 方法一：

我们考虑级数

收敛，于是由第(1) 小题推出级数

方法二：因对任意固定的

有

所以使于是对

故由收敛原理知

发散.

二、解答题

5． 讨论下列问题：

（1）

在点

的可导性，其中

（2）（3）的点.

【答案】（1）因为

故由于

故

（2）因为

所以

因

在点只在点

可导，且

都不连续，从而

在点

不可导.

不存在.

则

在点

可微，但在

的任何一个邻域内有不可微

连续，在其他任一点

（3）因为

故取

因为