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一、证明题

1． 证明级数

【答案】因为按对角线相乘可得

*

所以两级数的乘积为

2． 证明施瓦兹

【答案】若

也可积，又

即

由此推得关于的二次三项式的判别式非正，即

故

3． 求证

：

(2) 序列【答案】(1) 令

是最小值点

(2) 显然序列第(1)

小题，有

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与绝对收敛，且它们的乘积等于

故级数

.

绝对收敛，同理

也绝对收敛，

不等式：若f 和g 在

上可积，则

都可积，且对任何实数

与可积，则故

的极限存在.

，则有.

存在，只要肯定序列

有上界即可. 为此利用

且

单调递增，为了证明极限

4． 证明：为Ⅰ

上凸函数的充要条件是对任何

凸函数。

【答案】充分性，设

为

函数

及

为有

上的

上的凸函数，则对任何的

故为Ⅰ上的凸函数。

为I 上的凸函数，则对任何的

及

有

必要性，设

故

为

上的凸函数。

二、解答题

5． 设

其中A ，a ，b 为常数，试问A ，a , b 为何值时，【答案】.

故要使

又

要使有导数存在，必须b=0.

处可导? 为什么？并求

存在，必须A=0.

综上可知，当A=b=0为任意常数时，f （x ）在z=0处可导，且

6． 计算积分

其中D 是

围成的区域.

【答案】由题意知，所求的积分为

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7． 讨论

【答案】当当因此

时

.

函数在时

时的极限或左、右极限：

不存在.

(2) 由坐标面及平面

(2) 设四面体的质心坐标为

，由于物体密度均匀，且

因此

9． 设

【答案】

而

10．从等式

出发，计算积分

【答案】

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8． 求下列均匀密度物体的质心：(1) 面体.

【答案】(1) 设物体质心为

由对称性知：

所围的四