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一、计算题

1． 利用定积分的几何意义, 求下列积分:

【答案】（l ）根据定积分的几何意义,

表示的是由直线y=x, x=t以及x 轴所围成的直

, 故有

以及x

, 梯形的高为

,

角三角形面积, 该直角三角形的两条直角边的长均为t , 因此面积为

（2）根据定积分的几何意义,

轴所围成的梯形的面积, 该梯形的两底长分别为因此面积为21。故有

（3）根据定积分的几何意义,

。

表示的是由直线

表示的是由直线

以及x 轴所和x 轴所围

围成的图形的面积。该图形由两个等腰直角三角形组成, 分别由直线成, 其直角边长为1, 面积为

由直线y=x, x=2和x 轴所围成, 其直角边长为2, 面积为2。因此（4）根据定积分的几何意义, 半圆的面积, 因此有

表示的是由上半圆周

以及x 轴所围成的

2． 设函数f （t ）在内有连续导数，且满足

（1）求f （t ） （2）计算【答案】（1）在令（2）令

，则

，则

则

且P 、Q 有连续一阶导，则分，即

故

3． 设函数

连续，且满足

在该方程两端对x 求导，得

即

可见若记

又在方程

则有初值问题

上述非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为特征方程的根，故令有通解

且有代入初始条件

有

是点至的任意光滑曲线。

两边同时对x 求导得

是某函数F （x , y ）的全微

【答案】由所给方程可得

的两端对x 求导，得

解得

x

而不是

于是方程（1）

是方程（1）的特解，代入方程并消去e ，得

即于是得

4． 对图所示的函数f （x ），下列陈述中哪些是对的，哪些是错的

?

图

（1）（2）（3）（4）（5）（6）对每个【答案】（1）错，（2）对，因为（3）错，（4）错，（5）对，因为（6）对

5． 画出下列各曲面所围立体的图形：

【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示.

但

不存在；

不存在

存在。

存在与否，与f （x ）的值无关。

的值与f （0）的值无关。

，故

不存在。