2017年中国石油大学(北京)理学院865高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一截锥体，其高为h ，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B ，求这截锥体的体积。
【答案】用与下底相距z 且平行于底面的平面去截该立体得到一个椭圆，记其半轴长分别为u 、v ，
则
，
2． 写出下列级数的前五项：
，该椭圆面积为
，因此体积为
【答案】
3．
设
（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：
【答案】（1）由题意得
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其中a , b 为常数，又
设
由，得
（2）令
故
即g （x ）满足微分方程①，又
故g （x ）也满足初始条件②。 因此
，即
。
4． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积:
（1）（2）
，
，由于图形关于极轴的对称性（如图1），
【答案】（1）首先求出两曲线交点为
因此所求面积为极轴上面部分面积的2倍，即得
（2）首先求出两曲线交点为
和
，因此有
由于图形的对称性（如图2）
图1
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图2
5． 计算曲线积分
，其中C 是由四条直线
围成的
正方形的边界。
【答案】设这四条直线所围成的区域是正方形区域
记则
显然，它们在闭正方形区域D 上都连续。由格林公式得
6． 求函数
【答案】因为
,
故
, 其中介于x 与-1之间。
7． 试举出具有以下性质的函数f （x ）的例子：
是f （x ）的所有间断点，且它们都是无穷间断点。
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的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式。