2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研基础五套测试题
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2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研基础五套测试题（一）.... 2 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研基础五套测试题（二）.... 8 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研基础五套测试题（三）.. 13 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研基础五套测试题（四）.. 18 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研基础五套测试题（五）.. 23
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一、证明题
1． 证明定理:.
【答案】定理:
若
）时.
则对任给的
于是当
存在
.
使得当
时, 也有
则对任给的（即
取存在）时有
, 则当
. 使得
. 而当
2． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为L x 和L y , D 的面积为明
（1）（2）因此（1）
（2）考虑
令
则所以
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即
&
同理可得
并且
’
（即时, 总有
故
）时有
为D 内任一点, 证
,
【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a, b]和[c, d].
并且
, 记
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由于
, 因此
. 所以
, 同理可证
3． 设f 为R 上的单调函数, 定义是, g 的定义域是R , 由于时,
于是当即当一点都右连续.
4．
设
等式的几何意义吗?
【答案】由于当
时, 原不等式化为
上式等价于
两边平方, 得
即
由于即
当
所以上式等价于
时, 这个不等式是成立的. 所以原命题成立.
其几何意义表示
的两
题中不等式的几何意义如图所示, 其中边之差小于第三边.
故只需对
的情形进行证明.
证明:
. 你能说明此不
, 即
时, 把y 限制在时,
,
证明g 在R 上每一点都右连续.
, 极限, 使得当
,
右连续.
由的任意性知, g
在R 上每
都存在. 于
, 对于任给的
. 内,
就有, 故g （x ）在
, 存在
, 得到
【答案】设f 为
R 上的单调增函数. 根据单调有界原理,
对一切
图
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二、解答题
5． 计算曲线积分径:
,
（a>0, b>0, c>0为常数）,
中解出
.
, 代入椭球面方程整理
其中L 是从点（a , 0, 0）沿着以下曲线到点（0, 0, c）的路
【答案】方法一 （用参数方程求解）从可得
令
则
由于
并注意到椭圆心在
处, 所以
故
方法二 （选取z 作为参数）曲线L 的参数方程为
z 从0到c.
于是有
方法三 （用斯托克斯公式求解）由于空间曲线L 不是闭曲线, 所以补充直线段L 1, 使得L+L1
为闭曲线, 其中L 1是从点（0, 0, c）沿直线式, 有
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’到点（a , 0, 0）的直线段. 由斯托克斯公
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