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一、证明题

1． 证明:（1）设f 在

（2）设f 在【答案】（1）设因为（2）把函数其中

个线段方程组的系数矩阵为A , 则

.

把上可导, 若上n 阶可导,

若

和

都存在, 则都存在, 则

, 由拉格朗日中值定理得

都存在且相等, 所以有

, 故

看作未知数, 解上述线性方程组. 设这

在点x 处展开为n-l 阶泰勒公式得

. 于是,

的线性组合. 由

存在（其中

于是. 由

2． 设S 为非空数集, 定义

【答案】设有对于任意正数

3． 设

存在

则任意

使得

于是

,

存在（k=1, 2, n-1）. 根据（1）的结论,

的存在性可知

证明:

则

即

故故

是是

的一个下界. 又

的下确界,

即

. .

可以表示为

存在可得

由范德蒙行列式的求值公式知,

证明:若m>0, v>0, 则

【答案】因为

且所以

4． 设D （x ）为狄利克雷函数,

【答案】令和无理数

在.

5． 设f 为可导函数, 证明:若x=1时有

【答案】由复合函数求导法则, 有

由题设x=1时即

6． 证明定理: 数列

故

, 得

或

.

为无穷小数列.

于是, 对任意收敛于a.

时

,

即

存在N , 使得

当

存在N , 使

, 则必有

或

.

使得

对任意的

证明:

不存在.

中存在有理数

不存

. 由有理数和无理数的稠密性可知, 在,

于是

. 根据柯西准则

,

收敛于a 的充要条件是:

的极限是1.

并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当

时, 必要性, 设数

列

于是, 数列（2）因为

收敛于0, 即

即

为无穷小数列, 则

按照数列收敛的定义, 数列

收敛于a , 那么, 对任

意

为无穷小数列.

是无穷小数列, 所以

二、解答题

7． 求下列函数微分:

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

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（6）

8．

过直线

【答案】

设

作曲面切点坐标为

曲面在点P 0的法向量为即

其法向量为

, 于是有

解之得

或

故所求的切平面方程为

_ 或

9． 设

【答案】由又

在

计算积分

而

上连续, 从而由定理知

10．试求下列极限:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）当

时, 因为

的切平面,

求此切平面的方程. , 则

, 又过直线T 的平面方程为

:

收敛可得级数

一致收敛.