2018年河北师范大学910数学分析与高等代数综合[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （X ）, g （x ）为（a , b ）上的凹函数, 求证:
也是（a , b ）上的凹函数 【答案】设
, 则
, 有
,
,
由此推出
由凹函数定义, 即知h （X ）是（a , b ）上的凹函数.
2． 设
（1）因为（2）同理
记（2）所以
证明:
【答案】（1）由题意知
二、解答题
3． 己知球半径为r , 验证高为h 的球缺体积
【答案】这个球缺可看作由曲线其体积可由旋转体体积公式
4． 求曲线
【答案】
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绕x 轴旋转而成.
求得
.
上曲率最大的点.
令
, 得时取最大值. 故
当在点
时,
当
处曲率最大.
时,
, 所以K （:r ）在
5． 求下列函数在指定点的高阶导数:
（
1）
（2
）【答案】（1）
,
（2）
6．
应用对参量的微分法,
求下列积分:
（1
）
（
2）
【答案】 （
1）若
, 所以
,
同理
若
设
则
又因所以
因而
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, 求
,
求
,
, , ,
,
, , ,
；
, .
（2）设当因而
时
为连续函数, 且具有连续导数,
所以
故当当
时, I （a ）
=C（常数）
, 又I
（0）=0
, 从而I （a ）=0. 时
, 令
, 则
, 有I （b ）=0, 于是
当
时,
同理可得I （﹣1）=0. 综上所述得
7．
计算三重积分
, 其中是由曲面
与. 对积分
所围的区域.
采用“先二后一”的方
【答案】由于积分区域关于yOz 平面对称, 所以法
, 则有
8． 设函数项级数
（1）证明此级数在（2）求其和函数.
【答案】（1）对每一个固定的x>0, 有
利用正项级数的比较判别法知,
在
上收敛.
,
.
上收敛但不一致收敛;
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