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一、计算题

1． 掷一颗均匀的骰子2次, 其最小点数记为X , 求E （X ）.

【答案】X 的分布列为

表

所以

2． 进行独立重复试验, 每次试验中事件A 发生的概率为0.25. 试问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少？此时A 发生的次数在什么范围内？

为1000次试验中事件A 发生的次数,

则

设事件A 发生的频率（）与概率0.25的差为k , 根据题意, 可得如下不等式

【答案】

记

或

利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和修正项可得

由此得

查表得

从中解得

这表明在1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不小于0.02634,

次间, 即在223次到277次间.

且

或者说, 在1000次试验中事件A 发生的次数在

3． 已知

【答案】

4． 设曲线函数形式为

【答案】令

5． 设随机变量

【答案】（1）

试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式. 原函数化为V=a+bu. （1）求

（2）求P （X>3）；（3）设d 满足

查表得

由此解得

故d 至多

问d 至多为多少？

（2）（3）由取0.154.

6． 设

是来自指数分布的一个样本，对如下检验问题：

是来自另一指数分布的一

个样本，且两样本相互独立，若设

在显著性水平为的场合给出拒绝域.

【答案】由于指数分布是特殊的伽玛分布，具体是于是

同理可得在原假设检验拒绝域为

在给定显著性水平

由两样本相互独立可知

成立下，有

从而有或

可查表得

譬如，若两样本量与样本均值分别

从而得拒绝域

或

如令

它不在拒绝域内，故不能

拒绝原假设.

7． 设随机变量X 服从区间（1，2）上的均匀分布，试求

【答案】X 的密度函数为

2）由于X 在（1，内取值，所以2）上为严格单调増函数，其反函数为函数为

的可能取值区间为1

，且

的密度函数.

且

所以

在区间（1，

的密度

8． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.

【答案】设事件

为“恰好结成n 个圈”，记

又记事件B 为“第1根绳子的两个头

容易看出

所以得递推公式

由此得

9．

是取自总体X 的样本，已知y=InX服从正态分布N （μ, 1）

（1）求μ的置信水平为95%的置信区间；

（2）求X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）将数据进行对数变换，得到y=InX的样本值为

它可看作是来自正态总体N （μ，1）的样本，其样本均值为信水平为95%的置信区间为

（2）由于95%的置信区间为

10．写出下列随机试验的样本空间：

（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；

（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；

（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个.

【答案】

⑴共含有

（2）

（3）（4）

个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意.

共含有

个样本点.

共含有可列个样本点.

{黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红}.

相接成圈”，则由全概率公式得

由于σ=1已知，因此，的置

是的严増函数，利用（1）的结果，可算得X 的数学期望的置信水平为