2017年山东科技大学数学与系统科学学院853概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量
的联合密度函数为
求X 与Y
中至少有一个小于0.5的概率.
【答案】两事件
中至少有一个发生的概率为
2． 测试在有精神压力和没有精神压力时血压的差别，10个志愿者进行了相应的试验. 结果为（单位：mmHg ，收缩压）：
无精神压力时有精神压力时
是否该数据表明有精神压力下的血压的确增加？
【答案】（1）对此问题也可类似于本节第5题进行分析，首先明确要检验的一对假设为：
有无精神压力下的血压不变vs
的10个观测值，为
若假定增加值服从正态分布，可通过对增加值做单样本t 检验进行. 一对假设
为
由数据可计算得
到于是检验的p 值为
P 值小于0.05，可认为有精神压力下的血压的确增加了. （2）由于
正数的个数为8，从而检验的p 值为
P 值大于0.05，在显著性水平0.05得不到显著的结论，即不能认为有精神压力下的血压的确增加了.
（3）由于负的差值只有一个，其秩分别为4，故符号秩和检验统计量为假设检验，检验拒绝域为
三者结果并不完全一致.
在给定
下，查表可知
值4落入拒绝域，故拒绝原假设，可以认为有精神压力下的血压的确增加了.
这是一个单边
观测
故可算出检验统计量值
为
有精神压力下的血压有增加为此，先给出血压增加值
3． 设随机变量
【答案】因为
，对k=l，2，3，4，求与，进一步求
此分布的偏度系数和峰度系数.
所以
偏度系数和峰度系数分别为
4． 设A ，B ，C 两两独立，且.
（1）如果（2）如果
试求x 使且：
达到最大.
求P （A ）.
而不要求
之不然. 这里由A ，B ，C 两两独立，且
（1）由P （A ）=P（B ）=P（C ）=x知三项式的最大值在x=0.5达到. （2）由x=1/4.
5． 由经验知某零件质量为
已知方差不变，问平均质量是否仍为15g （取双侧假设检验问题，
检验的拒绝域为可算得，
由于
【答案】三个事件A ，B ，C 两两独立是指仅成立
成立. 可见A ，B ，C 相互独立必导致两两独立，反可得
而
这个二次
解得两个解为3/4和1/4，而x=3/4不符题意，所以得
（单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量
）？ 由
查表知
使用样本数据
【答案】本题归结为对方差已知时检验正态总体均值μ=15的问题，而且这是，而且这是一个
故有充分理由拒绝原假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g.
6． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.
【答案】设事件且
所以由全概率公式得
得递推公式
将
代入上式可得
由此得
7． 一商店经销某种商品, 每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间（10, 20）上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量, 则可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每周的平均利润.
【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润, 由题设知
由题设条件知（X , Y ）的联合概率密度为
于是
8． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.
【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为
为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记
则有
其中