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一、计算题

1． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求E （Y/X）. 【答案】

2 设随机变量X 服从参数为μ=160和．

最大为多少？

【答案】

由题设条件

或

3． 设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为的相关系数

求二维随机变量（X ，F ）的联合概率分布；求概率

且X ，Y

这表明矿最大为24.32.

得

从而查表得

，的正态分布若要求

，允许

【答案】由于X ，Y 的概率分布相同，故

显然

相关系数

所以故又而

的联合概率分布：

所以故

从而得到故得到（X ，F ）

（2）

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4． 一个保险公司有10000个汽车投保人, 每个投保人平均索赔280元, 标准差为800元. 求总索赔额超过2700000元的概率.

【答案】记

为第i 个投保人的索赔额,

. 则

. 由林

德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

5． 已知随机变量X 的密度函数为

试求随机变量Y=g（X ）的概率分布，其中

【答案】因为p （x ）为偶函数，所以可得所以Y 的分布列为

表

6． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.

【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y=X+1服从几何分布E （Y ）=（n+m）/m=n/m+l，由此得E （X ）=E（Y ）-l=n/m.

7． 设在区间（0, 1）上随机地取n 个点, 求相距最远的两点间的距离的数学期望.

【答案】解法一:分别记此n

个点

（0, 1）上的均匀分布U （0, 1）. 我们的目的是求

而.

和

的密度函数分别为

又因为

所以

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由此得

所以

则相互独立, 且都服从区间

解法二:n 个点把区间（0, 1）分成n+1段, 它们的长度依次记为是随机取的, 所

以

因此

而相距最远的两点间的距离为

因此所求期望为

因为此n 个点

具有相同的分布, 从而有相同的数学期望.

而

8． 甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷. 每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷. 试求第n 次由甲掷的概率.

【答案】设事件

为“第i 次由甲掷骰子”，记

所以由全概率公式

得

由此得递推公式

所以得

将

代入上式可得

由此得

由此可见，

这表明：骰子一直由甲掷的机会只有1/2

则有

9． 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为

i=l，2，3，以X 表示3个零件中合格品的个数，求

【答案】记事件

为“第i 个零件是不合格品”，i=l，2，3. 则因为.

所以

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而