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一、计算题

1． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 求极坐标

的联合密度.

【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

则

所以

由此得

和

的联合密度函数为

2． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球. 现任取一个盒子，从中任取3个球. 以X 表示所取到的白球数.

（1）试求X 的概率分布列；

（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？

，i=l，2，3. 由全概率公式得

【答案】（1）记为“取到第i 个盒子”

将以上计算结果列表为

表

（2） 3． 设

（1）（2）（3）质:

所以不是分布函数. （2）因为此时的极限函数为（3）因为此时的极限函数为

所以是分布函数.

不满足分布函数的右连续性, 所以不是分布函

为退化分布:

不满足分布函数的基本性

）

试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中

【答案】（1

）因为此时的极限函数为

数. 4 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为一2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为一0.5. ．

试根据切比雪夫不等式, 估计

【答案】因为

所以

5． 设总体密度函数为

【答案】对数密度函数为

x ＞0, θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.

于是

由此给出

的上限.

6． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：

（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；

（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜.

【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.

（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2，所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.

（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l，2，3，4，则

所以甲得全部赌本的11/16，乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有此n+m-1局中至多赢m —1局，这共有

种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着：乙在

种等可能的情况，若记

则

所以甲得全部赌本的

乙得全部赌本的

7． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，选取了15个男子，（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm ，过了一个月再测量厚度，得到数据如下：

表

问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设..

来自正态总体，结论是什么？

（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？

【答案】（1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值，则需检验的假设为

由于

的P 值为

p 值小于0.05，在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿. （2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5，故符号秩和检验统计量为，这是一个单边假设检验，

检验拒绝域为

号在使用中是完全等价的）

下，查表13可知

此处15个差值为

故可算出检验统计量值为

于是检验

（正号和负

在给定

观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料