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一、简答题

1． 假设有人做了如下的回归:

其中，

，

分别为，

关于各自均值的离差。问，

。将模型

和

将分别取何值?

中的

与

【答案】根据题意，知:

看作是一般的解释变量与被解释变量，则根据OLS 估计可得:

由于

故有：

即离差形式下，回归方程没有截距项，只有斜率项。

2． 在多元线性回归分析中，t 检验与F 检验有何不同? 在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用?

【答案】在多元线性回归模型分析中，t 检验常被用于检验回归方程各个参数的显著性，是单一检验; 而F 检验则被用作检验整个回归关系的显著性，是对回归参数的联合检验。在多元线性回归中，若F 检验拒绝原假设，意味着解释变量与被解释变量之间线性关系是显著的，但具体是哪个解释变量与被解释变量之间关系显著则需要通过，检验来进一步验证，但若F 检验接受原假设，则意味着所有的，检验均不显著。

在一元线性回归模型中，由于解释变量只有一个，因此F 检验的联合假设等同于，检验的单一假设，两检验作用是等价的。

3． 一元线性回归模型的基本假设主要有哪些? 违背基本假设的计量经济学模型是否就不可以估计?

【答案】（l ）线性回归模型的基本假设（实际是针对普通最小二乘法的基本假设）有两大类:一类是关于随机干扰项的，包括零均值、同方差、不存在序列相关、满足正态分布等假设; 另一类是关于解释变量的，主要有:解释变量是非随机的，解释变量与随机干扰项之间不相关。

（2）在违背基本假设的情况下，普通最小二乘估计量就不再是最佳线性无偏估计量，因此使用普通最小二乘法进行估计己无多大意义，但模型本身还是可以估计的，尤其是可以通过最大似然法等其他原理进行估计。

二、计算题

4． 试证明:二元线性回归模型

中变量

与

的参数OLS 估计可以写成

其中

为

与

的相关系数。讨论r 等于或接近1时，该模型的估计问题。

的样本回归模型离差形式为:

其中

，

，

。

【答案】二元线性回归模型

根据普通最小二乘法，使残差平方和最小，即使下式达到最小:

对

、

求偏导得:

令偏导数为零得到正规方程组:

解此正规方程组得:

同理可得

从参数估计的表达式可以看出，当而当r 非常接近1时，

的相关系数r 等于1时，分母为零，参数无法估计;

逐渐成为一个不定式，估计结果将变得越来越不稳定。