2018年石河子大学食品学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 从一批钉子中随机抽取16枚, 测得其长度（单位:cm ）
为:2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.设钉子的长度X 服从于正态分布
（1）已知（2）未知（1）
由正态分布表知,
, 故得
即的置信度为（2）由又由
及t 分布表知, 故得
即的置信度为
的置信区间为
2． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
【答案】记
又记
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, 在下列两种条件下分别求总体均值的置信度为
的置信区间.
【答案】由题意知,
的置信区间为
未知, 则
由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为
所以由
得P （E ）=0.5.
此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性，在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的，事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位，利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算，此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下:
因为甲掷n+1次硬币共有
n
种可能，乙掷n 次硬币共有2种可能，
因而样本点的总数为
又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面，k=0, 1, 2，…，n , 1≥1. 则所求概率
P （甲掷出的正面数＞乙掷出的正面数）
注意，如果甲掷n+1次改成n+2次，乙仍掷n 次，则“甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多”的概率可见下题。
3． 假定X 是连续随机变量，x 是对X 的（一次）观测值. 关于总体密度函数f （x ）有如下两个假设:
»
检验的判断规则是:若
侧拒绝原假设
，试求检验犯两类错误的概率.
犯第二类错误的概率为
这个检验犯两类错误的概率都不小，不是一个好的检验，主要原因是样本量太小.
4． 某批产品含有N 件，其中M 件为不合格品，现从中随机抽取n 件中有X 件不合格品，则X 服从超几何分布，即
假如N 与n 已知，寻求该批产品中不合格品数M 的最大似然估计.
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【答案】由所给条件，犯第一类错误的概率为
【答案】记未知参数M 的似然函数为. 考察似然比
要使似然比化简此式可得这表明:当
为整数和
，必导致
，
时，似然函数
是M 的增函数，即
，必导致
时，似然函数
是M 的减函数，即
， ，
，
类似地，要使似然比这表明，当比较而当其中
式和
为整数且
式可知，当
为整数时，M 的最大似然估计为
不为整数时，M 的最大似然估计为
为不超过a 的最大整数. 综合上述，M 的最大似然估计为
譬如，在N=19，n=5，x=2场合，由于几个
如下表所示:
表
1
可见M 取7或8可使似然函数达到最大. 又如，在N=16，n=5，x=2场合，这时M 的最大似然估计
表
2
可见M 取6可使似然函数达到最大.
5． 在用光电比色计检验尿汞时，对给定的尿汞含量x （mg/L）, 消光系数y 服从正态分布，且方差与x 无关，观测得如下数据:
表
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，
为整数，故M 的最大似然估计为7或8. 下面以实际计算加以佐证，
（不为整数），
，实际计算如下表