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一、计算题

1． 设A ，B 为任意两个事件，且

【答案】

2． 设

是来自拉普拉斯

分布

的样本，试给出一个充分统计量. 【答案】样本的联合密度函数为

取

由因子分解定理，

3． 设

为的充分统计量.

，其概率函数为:

其中分布，即

其中

并把这一分布记作【答案】因为

. 证明:

的后验概率函数为

所以的后验分布服从Dirichlet 分布

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，则成立.

服从多项分布

为参数

，，.

若的先验分布为Dirichlet

，记，

的后验分布为Dirichlet 分布

，其中.

4． 设来自贝塔分布族的一个样本，寻求的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理，

5． 设二维随机变量

（1）求（2）计算

,

的概率密度为的概率密度函数

；

；

’

是充分统计量.

（3）计算x 与y 的相关系数. 【答案】 （1）如图所示1所示

图1

由于

, 其中

故⑴当（2）当（3）当⑷当即

或

时, 有时, 有时, 有时, 有

；

； ；

（2）由题意知

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又

故

（3）由x , y 在又

于是

, 故x 与y 的相关系数

6． 将3个乒乓球放入4个杯子中, 求杯子中球的最大个数为1, 2, 3的概率.

【答案】设事件

表示“杯中球的最多个数为”, 3个球放入4个杯子中共有

种,

即

中不同方法,

表示“4个杯子中有3个杯子各有一球”, 则不同放法共有

表示“4个杯子中有一个杯子有2个球, 有个杯子有1个球”, 则共有

种不同放法, 即

中放法,

；

.

中的对称性易知,

.

表示“3个球都放入了一个杯子中”, 则共有即

7． 设总体本

其中【答案】以记

，总体

，从总体X 抽取样本

，从总体Y 抽取样

，两样本独立，考虑如下假设检验问题

都是已知常数，求检验统计量与拒绝域. 分别表示来自两个总体的样本均值，

，由所给条件，有

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分别为其样本方差，