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一、计算题

1． 若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，你认为他是否有诀窍？

【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题:

>

以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，验统计量可取为

在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1）, 故检验拒绝域为

， 检验的p 值近似为

因此应拒绝原假设，看来此人猜硬帀有某种诀窍.

2． 一袋中装有20个大小相同的三种颜色的球, 其中第一种为红球有16个, 第二种为黄球有3个, 第三种为绿球有1个. 现在随机地从中任取一球, 记

（1）求随机变量（2）问随机变量【答案】设事件（1）由题设知,

与

的联合分布； 是否相关.

. 于是

故

的联合概率分别如下表所示

表1

两两互不相容

. {取到第i 种球},

，由于样本量相当大，检

（2）由上表可知与的分布分别为

表

2

表

3

所以

从而

所以

相关.

（单位:m/s）. 经过较长时间储存，取9发进

3． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位:m/s）如下:

据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（分别为假设

分别为

在显著性水平为下，检验的拒绝域为经计算得

，

可以判断这批枪弹的初速有显著降低. 关于本题说明一点:本题中的一对假设另一对假设

这是因为二者的拒绝域形式相同，都形如由于使用该拒绝域的检验的势函数为

，

的检验与

的检验有完全相同的拒绝域，

，若取

查表知

.

，此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，

）？

，

待检验的原假设矾和备择假设

【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体

是的减函数，因而要求'

与要求

等价，从而两个检验问题的拒绝域完全

一致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.

4． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.

【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为

表

1

由此得

5． 设的渐近分布为

是从均匀分布

抽取的样本，试求样本均值的渐近分布.

的均值和方差分别为

和

，样本容量为25,

因而样本均值

【答案】均匀分布

6． 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.

（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2; （2）学生知道正确答案的概率是0.2.

【答案】记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则按题意有

（1）此时有

，所以由贝叶斯公式得

（2）此时有

，所以由贝叶斯公式得