2017年宁夏大学专业综合(数学、材料力学)之高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 已知函数f （x ）满足方程
（1）求表达式f （x ） （2）求曲线的拐点
【答案】（1）特征方程
为
的通解
为可知
（2）曲线方程为
故则
令
号。
当
时
，
可知
知曲
线 2． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
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及
特征根
为
再
由
齐次微分方
程
得
得
为了说明
是唯一的解，
我们来讨论
可
知
可知
是
在
当
和时的符时
，
的唯一解，同时，由上述讨论可
在x=0左右两边的凹凸性相反，可知（0，0）点是曲
线
唯一的拐点。
所确定的函数，其中
具有
【答案】（1）由方程
。
（2）由（1）可得，
3． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
2
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
两端积分，得
于是
代入
，即得
，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
，代入初始条件：t=0，h=0，得
（s ）。
4． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
2
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时，
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，且由，积分
得
，故有微分方
程，分离变
量，
二、计算题
5． 求图中各画斜线部分的面积：
【答案】（1）解方程组得到交点坐标为（0, 0）和（1, 1）。
如果取x 为积分变量，则z 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为
、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则y 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为y-y 的的窄矩形面积，因此有
2
（2）取x 为积分变量，则易知x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]
x
的窄条面积 近似于高为e-e 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则易知y 的变化范围为[l，e]，相应于[l，e]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积 近似于高为dy 宽为lny 的窄矩形的面积，因此有
（3）解方程组
得到交点坐标为（-3，-6）和（1，2）。
如果取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-3，l]，相应于[-3，1]上的任一小区间[x，x+dx]的
22
窄条面积近 似于高为（3-x ）-2x=-x-2x+3、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
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