2017年中国海洋大学基础综合之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
得故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为积分
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则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
，又令，有，即
，
。
，即
，代入
，令
。又令
，有
，因，
则，
即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
则
将
代入上式，
且原方程成为（3Y-7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
故在变换下，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则
，且原方程成为
即
类型的，
一般可令
积分
，又令
即，得
，有
，
（4
）将原方程写成
。令
得将代入上式，得原方程的通解
2． 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin 5tV （伏）串联组成的电路. 开关K 合上后，电路中有电流通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
【答案】依题意，有
，即
其中，记
，则
故
于是
代入初始条件t=0, i=0, 得C=1, 故电流i 与时间t 的关系为
按波动学的习惯，可写成
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3． 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴问的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.
，切点为（z ，y ）. 依条件，切线在59轴与Y 轴上的截距分【答案】设曲线方程为y=y（x ）别为2x 与2y ，于是切线的斜率
积分得代入初始条件 4． 设
【答案】由于
，
为可微函数，求，令
。
，即
。
，分离变量得
。
得C=6。故曲线方程为xy=6。
，则将其代入原式得
则
则
二、计算题
5． 已知函数（f x , y ）满足的极值.
【答案】已知
，得
已知得
，从而
将上式两端对x 积分得
因为
，所以
，得
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f x , y ）求（
，得
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