2017年宁夏大学数学基础(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
2． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，
与
都是当
时的无穷小，但
，却
不是当时的无穷小。
3． 如果在时刻t 以的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
表示什么？ 【答案】
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
4． 求下列各微分方程的通解
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
令
即
再积分得通解（5）令
则
且原方程可化为
积分得通解
（6）令积分得（7）
令
积分得
即即通解为
分离变量，得
则且原方程化
为
分离变量，
得
积分
得
利用一阶线性方程的求解公式，得
则
即
则
且原方程可化为
再积分，得通解
分离变量，得
且原方程化
为
积分得
分离变量，
得
（8）令
，故
分离变量，得
则且原方程化为
由于
两边平方，得
分离变量，得，
积分得
故上式两端积分，
型方程，除了设，得
即
即积分，得
，
（9）说明方程用如下方法求答:在f （y ）的原函数，则有
属于的两端乘以
来降阶求解外，还可以
若F （y ）是
积分得到降阶方程乘方程
的两端，
得
本小题按上述方法求答:
用
有
故
分离变量，得
（10）令则原方程化为即若p ≡0, 则y ≡C 。
y ≡C 是原方程的解，
但不是通解。若
分离变量，得分得
即
积分得
由于p 的连续性，必在x 的某区间有p ≠0.
于是
即
也可写成
亦即由于当
时，
积故
前面所得的解y ≡C 也包含在这个通解之内。
二、计算题
5． 求力
【答案】
下面用两种方法来计算上面这个积分。
解法一:化为定积分直接计算。如图所示，由AB ，BC ，CA 三条有向线段组成，则
沿有向闭曲线
所作的功，其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截
成的三角形的整个边界，从z 轴正向看去，沿顺时针方向。
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