2017年宁夏大学专业综合(数学、材料力学)之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
2
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
, 对于，上任一点P （x , y ）
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ） 依题意，有
上式两端对x 求导
，
，则微分方程成为
，积分得。
，
即得微分方程
，因
，故有
，
令
，
有
。
，故1=C。于是得曲线弧的方程又因曲线过点A （1, 1）
2． 用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。
【答案】因 3． 设
【答案】在算不方便，故令
，其中f 为可微函数，求
。
与P 成正比，与T 成反比，若比例系数为k ，则有
2
。
中，由于函数f 不是以单独一个字母作为自变量，从而造成计，得
，故
则
4． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
表示什么？
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
二、计算题
5． 设f （x ）是周期为2的周期函数。它在数形式的傅里叶级数。
上表达式为f （x ）=e。试将f （x ）展开成复
-x
【答案】f （x ）满足收敛定理的条件，且除了点
故
外处处连续，则
故
6
．
确。
【答案】在单连通区域G 内，
若
为某二元函
数
本题中有
具有一阶连续偏导数，
则向量的梯度（此条件相当
于
在G 内恒成立。
定
常
数
，
使
在
右
半
平
面
内
的
向
量
为某二元函
数的梯度，并
求
是u （x , y ）的全微分）的充分必要条件是
由等式
得到
由于
在半平面x>0内，取
，故
即
则得
7． 验证下列求这样的一个
【答案】（1）在整个xOy 面内，
函数
，因此所给表达式是某一函数
的全微分。取
具有一阶连续偏导数，
且
则有
（2）在整个xOy 面内，函数
和
具有一阶连续偏导数，且
故所给表达式是某一函数
的全微分。取
则有
（3）在整个xOy 面内，且
则有
和
，故所给表达式是某一函
数
具有一阶连续偏导数，
的全微分。
取
在整个xOy 平面内是某一函数
的全微分，并
（4）在整个xOy 面内，函数且
则有
和
具有一阶连续偏导数，
的全微分，
取
，故所给表达式为某一函
数
（5）解法一：在整个xOy 面内，连续偏导数，
且
分。取
则有
和
故所给表达式是某一函数
具有一阶的全微