2017年南京师范大学高等数学(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，
与
都是当
时的无穷小，但
，却
不是当时的无穷小。
2． 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:
【答案】（1）令
则
且原方程变为
分离变量，得
积
分得arctan=x+C, 即u=tan（x+C）, 代入u=x+y, 得原方程的通解y=-x+tan（x+C）。
（2）令u=x-y,
则
u=x-y，得原方程的通解
（3）令u=xy，则
且原方程变为
且原方程变为
即令
即
，代
入
则
且原方程变为
得原方程的通
解
即
积分得
即
即udu+dx=0,
积分得
，代入
代入u=xy。得原方程的通解（4
）将原方程写成
即
积分
得
（5）原方程改写成原方程变为
积分
得
令u=xy，即
整理并分离变量，得
则
且
代入u=xy，并整理，得原方程的通解
为
3． 用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。
【答案】因
与P 成正比，与T 成反比，若比例系数为k ，则有
2
。
，上任一点P （x , y ）
4． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
2
, 对于
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ） 依题意，有
上式两端对x 求导
，
，则微分方程成为
，积分得。
，
即得微分方程
，因
，故有
，
令
，
有
。
，故1=C。于是得曲线弧的方程又因曲线过点A （1, 1）
二、计算题
5． 将下列函数展开成x-1的幂级数，并求展开式成立的区间：
【答案】（1）当
时，因
而
在以上二项展开式中取
并用x-1替换其中的x ，得
（2）
利用
将上式中的x 换成x-1，得
6． 求抛物面壳
【答案
】
的质量。此壳的面密度为
在
。故
xOy
。
面上的投影区
域
。因此
7． 计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积（如图所示）
图
R]，【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[-R，相应的截面等边三角形边长为面积为
8． 求下列微分方程的通解：
，
，因此体积为
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