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一、证明题

1． 试证：对任意的常数

【答案】

于所以由此得

2． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是

分布

的特征函数, 由唯一性定理知

3． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为

试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数

所以由又因为

和

知X 与Y 不独立.

在对称区间上是偶函数, 故

从而

所以X 与Y 不相关.

4． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，

（II

）设（III ）证明故得X 的概率密度为

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有

由

, 且X 与Y 独立,

则

其中是未

设Z=X-Y。

为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。

的最大似然估计量

；

（I ）求Z 的概率密度

【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且

（II

）设

为样本

的观测值，则似然函数为

令故

的最大似然估计量为

解得

故

的无偏估计量。

（III ）由于

5． 证明：

（1）（2）

【答案】（1）由

移项即得结论.

（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即

则由（1）知

服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为

是来自该总体的样本, 证明:

二维统计量

是

6． 设二维随机变量

该二元正态分布族的充分统计量.

【答案】该二元正态分布的密度函数为

此处,

故

从而

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注意到

上式可化解为

于是样本的联合密度函数为

由因子分解定理知, 结论成立.

7． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.

【答案】因为

上式移项即得结论.

8． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

即A ，B 相容.

证明：2P （ABC ）=P（AB ）

二、计算题

9． 1984年一些国家每平方公里可开发水资源数据如下表所示（单位：

表

）：

而当年中国的该项指标为请用符号检验方法检验：这22个国家每平方公里可

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