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一、证明题

1． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为令

则

的逆变换为

, 所以

此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

2． 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

有

当

‘所以, 对任意的

时,

有

, 当

所以有

3． 设分布函数列

【答案】对任意的对取定的N , 存在

使有

结论得证.

弱收敛于分布函数

且

存在充分大的M , 使有

对取定的h , 因为

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其中常数而当时, 有

, 令

时,

有

和都是连续、严格单调函数,

又设

关于x 是一致的,

服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:

对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有

因而存在

因此有

使当时, 任对

, 有

由 4． 设

是来自泊松分布

的样本, 证明

是充分统计量.

有

的任意性知

结论得证.

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而

是充分统计量.

5． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.

【答案】泊松分布的概率函数为数为

对来自泊松分布

的样本

的后验分布为

若的先验分布为伽玛分布，其密度函

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即的后验分布为共轭先验分布.

6． 设总体X 的密度函数为

为容量为5的取自此总体的次序统计量, 试证

【答案】

先求

的联合密度为

下求

的联合密度, 为此, 令

其雅可比行列式的绝对值为

. 由

得

另外, 我们还可以求出边际密度,

类似可求得

显然

7． 设X 为非负连续随机变量，若

（1）（2）这就证明了

独立.

于是

的联合密度. 由于总体X

的分布函数为

与

相互独立.

所以

仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的

存在，试证明：

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利

用

得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

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