2017年大连海洋大学畜牧学715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有
所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得
P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.
2． 设是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到
由此可见
是
的无偏估计.
当
较大时，
拒绝原假设
是合理的.
故对
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，
当
在原假设
成立下，有
利用分布的分位数可确定临界值c.
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确定. 为了确定c , 需要充分统计量
时
，
由此可
得
的分布.
或
者
由等式可得
记是分布的分位数，可得
时，
所以 c=21.887.
时，将拒绝原假设
认为
譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由
可知从而有
在原假设成立下，有
这
里可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，故由中心极限定理
知
, 从而有
故由等式可得记
为标准正态分布的分位数，则有
即
若n=15,
3． 设
【答案】一方面
另一方面
查表得
从而
证明：
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4． （1）设布函数
和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差的分
其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
做变换
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果, 有
5． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即
6． 若
【答案】因为
时, 有
当, 结论得证.
证明
：
所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得
时, 有
令
其逆变换为
雅可比行列式绝对值为
,
于是
与
时, 样本极差
的分布函数.
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