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一、证明题

1． 设总体X 的密度函数为

为容量为5的取自此总体的次序统计量, 试证

【答案】

先求

的联合密度为

下求

的联合密度, 为此, 令

其雅可比行列式的绝对值为

. 由

得

另外, 我们还可以求出边际密度,

类似可求得

显然

2． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证:

【答案】注意到

其中

, 而

又

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与相互独立.

所以

的联合密度. 由于总体X

的分布函数为

于是

这就证明了独立.

为样本均值, 为

是取自该总体的简单随机样本,

由此,

3． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明

：

【答案】

4． 设随机变量

【答案】因为

所以

由此得

5． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

6． 设

为来自指数分布

的样本，

即A ，B 相容.

为来自指数分布

的样本，且两组

中任意两个的相关系数都是p , 试证:

样本独立，其中

（1）求假设

是未知的正参数.

的似然比检验；

（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量

在原假设成立下的分布.

【答案】样本的联合密度函数为

参数空间分别为

下参数的最大似然估计

为

而

在

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由微分法容易求出在

下参数的最大似然估计为

则似然比统计量为

由求导可知，函数为

或者

这就证明了（2）的结论.

为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写

注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得

再注意到

诸

7． 若

【答案】由

与

诸

试证

：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

间的独立性，在原假

设

成立下，有如下抽样分布

：

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