2017年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.
【答案】因为
上式移项即得结论.
2． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
证明：2P （ABC ）=P（AB ）
3． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.
【答案】
对任意的点
:
则有
弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:
取M 充分大,
使有当
使有
时,
有
在
当
再令（1）
上一致收
时,
有
,
对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分
这时存在N , 使得当n>N时, 有
对任意的当
时, 有
由（1）, （3）式可得
即有
4． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
由
的任意性知
结论得证.
使当
使有时, 任对
, 有
, 结论得证. 弱收敛于分布函数
且
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为
关于x 是一致的,
和
都是连续、严格单调函数,
又设
必存在某个i , 使得
由（2）式知,
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
5． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为
所以
则X 与Y 有函数关系. 试证:X
即X 与Y 不相关.
6． 若
【答案】由
试证
：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
7． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
, 且X
的特征函数, 由唯一性定理知
8． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
证明
则
也服从
从而