2017年大连海洋大学畜牧学715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是的无偏估计.
是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是p （1-p ）的一个无偏估计.
是1/p的无偏估计，则有
或者
上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.
2． 设是来自的样本，α＞0已知，试证明，是从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为
所以λ的费希尔信息量为
这就是说
的任一无偏估计的C-R 下界为
又
这就证明了
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的有效估计，
于是
是的有效估计，从而也是UMVUE.
3． 证明:容量为2的样本
【答案】
的方差为
4． 证明下列事件的运算公式：
（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有
5． 设总体
【答案】由于总体均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
6． 设
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
, 由因子分解定理,
是
的充分统计量•
证明:
7． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令
（1）
（2）X 与Z 既不相关也不独立.
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【答案】（1）由全概率公式可得
所以Z 〜N （0, 1）.
（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式
考虑到而
所以
故有
即X 与Z 不独立.
8． 用概率论的方法证明:
【答案】设
为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数
服从参数
的泊松分布
故
又由泊松分布的可加性知, 理知
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定
9． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时，
10．设随机变量
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时,
和
则
的密度函数为
则
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存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
与相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
所以
当