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一、计算题

1

．

因

果

LTI

系

统

如

图

所

示

（l ）求该系统的冲激响应; （2）判断系统的稳定性;

（3）给出该系统的逆系统的微分方程;

（4）请根据零、极点分布情况说明系统具有怎样的选频特性。

，

其

中

，

【答案】（l ）根据常用傅里叶变换，可知:因为

因此总的系统函数为:

求其逆变换，可得求该系统的冲激响应为:

（2）根据系统函数，可知存在极点O ，所以该系统不稳定。 （3）该系统的逆系统具有系统函数:据此可得到相应的微分方程为:（4）由于该系统在

处存在极点，因而该系统具有低通特性。

所以系统函数:

2． 已知系统函数如下，画出零、极点图，求冲激响应h （t ），并画出波形，说明极点、零点分布对h （t ）的影响。

【答案】（l ）因

故

H （s ）的零、极点图与h （t ）的波形如图（a ）所示。

H （s ）的零、极点图与h （t ）的波形如图（b ）所示。

由以上两小题（1）、（2）可看出，两个H （s ）的极点相同，且均在复平面的左半平面，故h （t ）均为按指数衰减的正弦波。但二者的零点不同，因此两个h （t ）波形的幅度和相位也不相同。由此可见:极点决定着h （t ）的波形，但零点会影响h （t ）波形的幅度和相位。

（3）

H （s ）的零、极点图与h （t ）的波形如图（c ）所示。 （4）

H （s ）的零、极点图与h （t ）的波形如图（d ）所示。 （5）

H （s ）的零、极点图与h （t ）的波形如图（e ）所示。

由以上三小题（3）、（4）、（5）可看出，极点的位置及阶数反映了系统的稳定性。当极点位于，h （t ）的波形为按指数增长的正弦波; 当极点位于复平面的右半平面时，系统不稳定，如题（3）

，h （t ）的波形为稳态正弦波; 当极点位虚轴上，且为一阶时，系统处于临界稳定状态，如题（4）

，系统不稳定，如题（5）; 当极点位于复平面的左半平面时，于虚轴上，且为高阶时（大于一阶）系统稳定，如题（1）、（2）。

（6）

H （s ）的零、极点图与h （t ）的波形如图（f ）所示。

H （s ）在s=0处既有一极点，又有一零点，二者相抵消，所以H （s ）在复平面上只有零点而无极点，因此 H （s ）的收敛域是整个复平面，这一点又由号加以了证实。

（7）

H （s ）的零、极点图与h （t ）的波形如图（g ）所示。

H （s ）只有极点，无零点，且极点全部位于虚轴上，h （t ）是周期为1的周期信号。周期信号每对共轭极点的位置恰好是该信号傅里叶级数展开式中相应谐波的频率，因此H （s ）的所有极点均分布在虚轴上的

（k=0， l ，2，…）处，且所有极点都是一阶的。

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图

3． 图1所示为理想火箭推动器模型。火箭质盘为m 1，荷载舱质量为m 2，两者中间用刚度系数为k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分别为f 1和f 2。求火箭推进力e （t ）与荷载舱运动速度v 2（t ）之间的微分方程表示。