2018年北京师范大学研究生院珠海分院873数学[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
f
:
, 且存在正实数
与
利用不动点定理证明:在B 中有惟一的不动点. 【答案】因为
, 有
所以 2． 若
（1）
, 级数
发散,
, 证明: •收敛. （固定）, 取适当大, 可使
. 由于, 于是有
由柯西准则知, 级数（2）因为
, 所以
而级数 3． 设函数项级数
收敛于
, 故
收敛.
发散.
,
, 即f
:
, 故由此可知f 在B 中有惟一的不动点.
, 对一切
, . 满足
发散; （2）
【答案】（1）用柯西准则 取
所以对固定的N , 存在
趋向于
, 函数g （x ）在D 上一致收敛于S （x ）在D 上有界, 证明级数
对任意
有
均有
因
在D 上一致收敛于S （x ）,
从而, 对任意
在D 上一致收敛于g （x ） S （X ）.
【答案】不妨设存在故对任意
存在N>0, 当n>N时, 对任意
所以
在D 上一致收敛于g （x ） S （x ）.
为D 内任一点, 证
4． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为L x 和L y , D 的面积为明
（1
）（2）因此
（1）
（2）
考虑
令
则所以
由于
, 因此
. 所以
, 同理可证
, 得到
, 记
并且
,
【答案】
设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a, b]和[c
, d].
二、解答题
5
． 重排级数
【答案】注意到存在
及, 使得
存在
, 使得
使它成为发散级数.
. 均是发散的正项级数, 从而存在n 1, 使得
如此下去,
存在及
6
． 将函数
使得这样得到一个重排的级数因
发散, 可得此重排级数必发散.
在【答案】
故f （x ）在
的傅里叶级数为
由收敛定理知, 它收敛于
上展开为傅里叶级数, 并指出傅里叶级数所收敛的函数.
7． 计算下面的三重积分:
（1）（2）其中:
.
则
【答案】（1）作柱坐标变换:
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