2018年渤海大学数理学院628数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:设则
在D 上一致收敛于f. 【答案】因为任意
故所以
2． 证明:若
【答案】由可推出进一步, 由由设 3． 设
并求J （2m , 2n ）. 【答案】
移项解得
. 同理
, 若对每一个正整数n
有
及
又
则数列
的构造, 知
得收敛.
所以
（m , n 为正整数）, 证明:
9
即
收敛, 并求其极限.
, 有
故
,
为严格单调递増数列. 单调递增且有上界, 知
则有
移项解得
由上述结论可得
而
故
4． 设
【答案】
作分割
理,
, 使得
其中介于f （x' ）与f （x" ）之间. 因为可积函数一定有界, 所以可设式得
设与
分别表示f （x ）与
在
上的振幅, 在公式（2）中, 让x' , x" 在
由此推出
令限得
因此
, 因为
, 所以
. 由此, 令
对（3）式取极
上
变化, 两边取上确界得到
. 于是由（1）
, 求证:
设
, 则根据微分中值定
二、解答题
5． 求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程:
（1）（2）
;
.
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【答案】（1）1, 法线方程为
（2）
, 即
, 故切线方程为
故切线方程为y=1, 法线方程为x=0.
, 即. 法线斜率为－
6． 为了使计算出球的体积准确到1%, 问度量半径为r 时允许发生的相对误差至多应为多少?
【答案】球的体积公式为由
应为 7
． 设
【答案】归纳法易知
即
.
求
有上界, 然后又因为
所以数列单调递增, 所以由单调有界定理知设
8． 设
a>0, b>0, 求
【答案】
当
和
.
时
, 被积函数趋向于0, 所以积分是正常积分. 注意到
则原积分可写成
由于
在
（设a 记 , 连续使用分部积分法可得 即 对 极限存在. 解得 即 得 , 解得 , 于是 . . 即测量半径r 时允许发生的相对误差至多 两边取极 限得