当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 在曲线x=t, y=t, z=t上求出一点, 使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4,

【答案】对曲线上任意一点（x , y , z ）, 有设曲线在即 2． 已知

级数

发散, 求证级数

也发散.

处的切线平行于平面x+2y+z=4, 则有

解之得

或

所以所求点为（﹣1, 1, ﹣1）或

2

3

【答案】反证法由假设级数

知, 级数收敛, 则

于是有

均为正项级数.

从而由正项级数的比较判别法知级数 3． 设

S

求级数

的和. ，

：，则，则

收敛, 这与题设矛盾, 所以原命题成立.

【答案】设令令则

的收敛区间为（﹣1, 1），;

, 从而

第 2 页，共 34 页

，

4． 计算

a ＞0, b ＞0, c＞0.

使其完全包含在

内. 所以

作代换

进行计算后得到

解法二:作

使其完全包含在

内

5． 试问如何把定义在的形式:

（1）（2）

【答案】（1）将在即

对上述延拓再作偶延拓,

使

及

第 3 页，共 34 页

【答案】解法一:这是一个第二类曲面积分, 不妨设其方向为外法线方向.

设

经演算得到

在原点附近补一个小椭球在

与V 之间的区域, 被积函数有连续偏导数, 满足高斯公式,

由

上的可积函数f 延拓到区间

上定义的可积函数f 作延拓, 使

内, 使它们的傅里叶级数为如下

时, 满足

则此时所得的延拓函数在

上为偶函数, 且为满

足

故其傅里叶级数的形式为

的可积函数, 从

而已

知

（2）将f （x ）作一奇延拓,

使

及

且满足

时

,

从而

时满足

对该延拓再作一奇延拓,

使

上的可积奇函数,

故其傅里叶级数的形式为

则此时所得的延拓函数是在

（n=0, 1, 2, …）, 已知

二、证明题

6． f （x

）在

. 上有连续二阶导数，且

，令

证明：

收敛.

【答案】由题设，对n=1, 2，…，有

由

在

上有连续二阶导数，知. 于是，

利用比较判别法，由子

7． 设a>1, b>1为两个常数, 定义在

有

【答案】由由

可推得

. 证明:收敛，则级数

收敛.

sinnx :在

上绝对可积，即存在M>0,

使得

上的函数f （x ）在x=0附近有界, 且对

.

, 而b>1知f （0）=0, 故只需证明

（n 为任意正整数）, 而f （x ）在x=0附近有界, 所以

第 4 页，共 34 页