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一、证明题

1． 证明:

对

成立.

这样就将问题转化为求令

解之可得, 在D 的内部有惟一驻点（1, 1）, 且注意到,

和,

,

所以f （x , y ）在D 的内部最大值为下面求f （x , y ）在D 的边界上的最大值. 在y=0上, 令最大值为

. 综上, f （x , y）在D 上的最大值为

, 则f 在

且（或

, 由题设知

上恒正或恒负. . 假如

,

那么

与. 这与, 即

; 可得驻点

.

此时f （0, 0）=0,

. 因此, f （x , y ）在y=0上的

在区域

上的最大值.

【答案】将原不等式变形为

同理, f （x , y ）在x=0上的最大值为

2． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且对任何

【答案】设

.

设

异号, 由根的存在定理知, 在区间

）内至少存在一点, 使得

, 即f 在题设矛盾. 故上恒正. 时同理可证f （x ）恒负.

3． 设u （x , y）在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明:

其中

是u （x , y ）沿L 外法线方向n 的方向导数.

, 所以

因为

在D 上具有连续偏导数, 由格林公式得

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【答案】因为

故

4． 证明:若f 与g 都在[a, b]上可积, 且g （x ）在[a, b]上不变号, M 、m 分别为f （x ）在[a, b]上的上、

下确界, 则必存在某实数【答案】

设

,

, 由定积分的不等式性质, 得

若

, 则由上式知

, 从而对任何实数

若令

5． 证明:函数

在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但在此点不可微. 【答案】因为

从而

所以, f （x , y）在点（0, 0）连续. 由偏导数定义知

同理但当

时, 其值为0. 所以,

6． 证明:若函数列

所以, f （x , y）在点（0, 0）的偏导数存在.

考察

由于当

时,

其值为

不存在, 故f （x , y ）在点（0, 0）不可微.

在[a, b]上一致收敛.

一致收敛, 不妨

设

, 则得

, 则

,

且

.

均有

,

,

使得

.

因

,

, 所以

有

在[a, b]上满足定理的条件, 则

【答案】由题

设设

为

的收敛点, 则对任意的

有

连续

且

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由

满足定理的条件可知

故从而

由为

的收敛点可知, 对任意

存在N

1, 使得当存在N 2, 使得当

从而当所以

时

,

有

在[a, b]上一致收敛

.

时,

总有时, 对任意

有

在[a, b]上一致收敛于g （t ）, 故对上述的

二、解答题

7． 将

【答案】令

按

的幂展开成幂级数. , 则

因此

因为当-1

时有

即得

8． 求抛物体, 匀棒的重心. 所以

求转动惯量时, 把抛物体看成由曲线

绕z 轴旋转而得, 如图所示:

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, 亦即x>0.

的重心和绕z 轴的转动惯量（已知抛物体的密度为1）.

看成求质量不均

【答案】取自变量微元[z, z+dz], 把相应的体积微元的质量: