2018年东北大学秦皇岛分校618分析基础之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论:
（1）设f （x ）在点x=0连续, 且对在则f （x ）
在则f
（x ）在【答案】（1）由由f （x ）在x=0处连续, 所以
故f （x ）在点
连续, 从而f （x ）在
, 于是对
令同理由（3）由
即f （X ）定号, 从而可知对
续, 利用（1）的结论知
在
2． 设f , g 在点x 0连续, 证明:
（1）若（2）若在某【答案】（1）令
, 则存在内有
, 则, 则得
对
得A=A+B,
即
,
令
有
得B=A+B, 即, 因为
, 于是都成立.
,
由已知得
上连续, 从而f （x ）在
在x=0处连上连续.
两边取对数得
. 从而
上连续.
, 且f （X ）与f （-X ）同号, , 所以f （0）=l.对
上连续.
, 取x=y=0得f （0）=0.对
, 又
上连续. 上单调, 所以
和
都存在, 设
（2）易知f （0）=0.因为f （x ）在
当
时,
上连续;
, 且对
满足f （x+y）=f（x ）f （y ）,
（3）设f （x ）在点x=0连续,
上连续;
（2）设f （x ）在
上单调, 且对
满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）,
满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）, 则f （x ）
在x=0处连续, 由（1）的结论知f （X ）在
, 使在其内有
由f , g在点x 0连续可知, F （x ）在x 0也连续.
根据连续函数的局部保号性, 对任何正数存在某于是, 当保不等式性可得 3． 设在证明和一切
在
【答案】因为
, 都有
内成立不等式
上一致收敛且绝对收敛. 关于
为
, 使得对一切时,
有.
, ,
, 在
. 若
在, 存在
上一致收敛,
, 对任何内
和极限
（2）因为f , g 在点x 0连续, 所以
一致收敛, 所以任给
, 所以
即
关于
一致收敛且绝对收敛.
二、计算题
4． 己知
为三维空间中的有界区域,
的边界为分段光滑的曲面,
于是有
为外法向量, u （x , y , z ）在
上连续可偏导. 求证
:【答案】不妨设
5． 设
是有界闭集, f :
, 如果
, 都满足. 因为
, 使
这与
的最小性相矛盾, 故
即
. 若有另外一个
使
则
,
则A 中有且仅有一点x , 使得f （x ）=x. 【答案】
令
由此不等式知g （x ）为有界闭集A 上的连续函数,
因此存在
, 则由条件有
如果
矛盾, 故不动点惟一.
6． 设f （x , y , z ）在
则
在[a, b]上连续.
上连续. 令
【答案】分成两步来证. （1）记
因为f （x , y , z ）在有界闭区域上连续, 所以一致连续. 于是
, 当
时, 有
由此知,
在
上连续.
, 则
由
在
上连续知
, 在[a, b]上连续.
所确定, 求曲面S 的面积.
之下, 曲面S 的方程
是
通过计算易知,
由此得
由曲面的对称性, 只需求第一卦限部分的面积即可.
而此时
, 所以
故S 的面积为
,
并且由曲面方程知
在
上连续,
用与（1）中相同的方法可证明
7． 设曲面S 由方程
【答案】在球坐标变换
:
, 其参数方程为
（2）令y = a +k（x －a ）, 其中
对z 在[a, b]上取最小值得
8． 设
（1）求f （x ）的傅里叶级数; （2）级数是否收敛? 是否收敛f （x ） ?