2018年成都理工大学管理科学学院611数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为开集f , g :
均为可微函数, 证明:, 因为f , g 在x 0处可微, 所以
又由f （x ）在x 0处可微, 知f 在x 0处连续,
从而
所以
在x 0附近有界,
即
,
使
也是可微函数, 而且
.
【答案】对
这表明,
在x 0处可微, 且
, 由x 0的任意性, 知
在D 上可微, 且
2． 证明:若函数u=f（x , y ）满足拉普拉斯方程:
则函数【答案】令
也满足此方程.
则有
同理
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①
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由于
故有
同理
将①和②两式相加,
并把上述结果代入整理后得
3． 利用不等式
为有界数列.
【答案】由不等式令
则有
得到
于是
证明
:
②
为递减数列, 并由此推出
因此,
为递减数列, 由此推出
于是
4． 设函数f 在
即
上二阶可导,
为有界数列. , 证明存在一点
【答案】f （x ）在x=a和x=b的一阶泰勒公式分别为
t
由此得到
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, 使得
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于是
其中
或
, 并且满足
.
二、解答题
5
． 求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:
（1）（2
）
【答案】（1
）因
在点
, 在点
所以切线方程为
即
法平面方程为
即
（2）令所以
故切平线方程为
法平面为
6． 求圆的渐伸线（a , 0）与终点B
【答案】方法一:如图所示:
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和连接两个端点:起点A
的直线段AB 所围成图形的面积, 并求渐伸线的弧长
.