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一、证明题

1． 设

【答案】因为

证明：若

且

则

所以

2． 设

在

上连续并且单调递减，证明：函数

在

单调递减.

【答案】对F (x ) 求导，得

由f (x )

在

上连续且单调递减，

得

上单调递减.

3． 设级数

证明：当下极限发散. 【答案】(1) 由于当n 充分大时，敛.

(2) 由

比较判别法知，级数

当n 足够大时，发散.

即

由

，

即

由比较判别法知级数

收

时，级数

收敛；当上极限

时，

，

所以

即函数

二、解答题

4． 设f (x ) 在

上连续，

求最小.

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(即确定系数使均方差

【答案】设为f (x ) 在上的傅里叶系数，而

上式第一、三项为常数. 由此可见，当且仅当

时最小，最小值

5． 计算五重积分

【答案】当n=5时，取m=2，则

6． 求方程

【答案】

设

增. 由于

的根的近似值，精确到

因为

于是取

现估计近似

根迭代。

由于已经精确到

7． 求曲线

故取近似根

所以

绕直线

旋转所成的曲面的表面积.

，则曲面的表面积为

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所以

在

上严格递

内，在此区间上，

所以实根在区间

的误差

.

故

在上的最小值

为

而

不满足精度要求，继续

【答案】这是星形线，充分考虑到对称性

8． 求下列均匀密度物体的质心：(1) 面体.

【答案】(1) 设物体质心为

由对称性知：

(2) 设四面体的质心坐标为

，由于物体密度均匀，且

因此

9． 将定义在设

（1）（2）

’

上的函数，延拓到R 上，使延拓后的函数为（i ）奇函数；（ii ）偶函数.

(2) 由坐标面及平面所围的四

【答案】设f , g 分别为奇函数和偶函数，则（1）将f （X ）分别作奇延拓和偶延拓，得到

（2）设

为f （x ）在R 上的奇延拓，则当

时，

当

时，

于是

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于是