当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：若函数，在光滑曲线L

:

. 其中

为的弧长.

存在，且

又因f 在L 上连续，L 为光滑曲线，所以值定理知：

使

令

2． 设

在

显然

上连续可导，证明：

【答案】方法一用积分中值定理. 因为

所以

方法二用分部积分法. 因为

而

所以

第 2 页，共 36 页

上连续，则存在点

... 使得

【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续，从而曲线积为

在上连续，由积分中

所以

故

二、解答题

3． 重积分

其中是由曲面

与

平面上的圆

所围成的区域.

(见图) :

【答案】先画出区域的图形，并求出两曲面的交线为

图

由对称性知

4． 求极限

【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量，即令

显然，f (x ，y )

在

上连续，由连续性定理，有

第 3 页，共 36 页

5． 计算曲面积分围的立体的表面的外侧。

【答案】设

分别为S 的上、下底面和圆柱侧面，则

记

在xOy 平面上的投影区域为

则

在

上，

故

从而曲面积分

6． 设果

有根，就只能有一个根. 【答案】设

使得

首先有.

事实上，由假设

其次，假定存在证明可得

再在

这与的假定矛盾.

7． 设函数在

【答案】

首先证明若

由中值定理

所以由

对X 的任意性，知

与X 无关，即

第 4 页，共 36 页

其中S 是曲面及两个平面所

而在yOz 平面上的投影区域

上二阶可导，且

求证：方程

在

内如

是非负函数，在

（不妨设上对，

使得）那么根据上述使得

用罗尔中值定理，则存在

上有

在

试求关于上连续

的函数式. 则

对

上任意两点

再求U 关于的函数