2017年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若f 在
【答案】
设
这与题设矛盾. 故
2． 证明:若f 在
上连续，且对任何
设即f
在上连续，
上恒正.
则f 在由题设
知时同理可证f (x ) 恒负.
使得
上恒正或恒负.
假
如
使得
那
么
异号，由根的存在定理知，在区间内至少存在一点
则对任何自然数n
,
【答案】令显然
在上述小区间上连续，且
将[0，1]区间n 等分：
若分点若不然，
则由
中有一个使
则命题得证.
可知，上述被加项中必有两项异
号，在它们所构成的区间上应用连续函数根的存在定理即知结论成立.
3．
设且
在附近
有
【答案】因为又因为对上述任给的
从而对任给的从而对上述只需取
存在
存在使当
时，就有
使当
时，有
2时，有
证
明
故
二、解答题
4． 求积分
【答案】而
所以又因为所以
5． 设函数
（1）m 等于何值时，f 在【答案】（1）当
（2
）
时，
6． 求下列极限：
（1）【答案】⑴
（2）
（2
）
不存在. 故当正整数时
，试问： 为正整数）
连续；（2）m 等于何值时，f 在
可导.
连续.
当
故当m 为正整数时，f 在
当
时，f 在
即
可导.
时
7． 已知函数y=f（x ）的图像，试作下列各函数的图像：
（1）⑷（7）
【答案】（1）关于x 轴作（2）关于y 轴作（3）关于原点作（4）对（5）对（6）对（7）从以
（2） （5）
的图像的对称图像，就得到
的图像的对称图像，就得到的图像的对称图像，就得到
的图像.
的图像. 的图像.
（3） （6）
的图像，x 轴以上的部分保持不变，x 轴以下的部分对称地翻转到x 轴以上. 的图像，原函数值为正的地方变为y=l, 原函数值为0的地方仍然为0, 原函的图像，x 轴以上的部分保持不变，x 轴以下的部分变0.
的图像出发，把x 轴以上的部分变为0, x 轴以下的部分翻转到x 轴上方.
为例，本题的各种情形如图1~4所示
.
数值为负的地方变为y=-1.
图1 图
2
图3 图4
8． 设
【答案】记
则，
试证：当
时，显然
在
上连续，所以可在积分号下求导，即
令
从
当x = 0时
，
则
(C 为常数) ，
所以
故
因此，
当
时
，
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