2017年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在点x=l处二阶可导. 证明：若
【答案】由复合函数求导法则可得
由
得
故当X=1时
2． 设
在集合上有界，求证：
【答案】由下确界定义有
移项即得
由下确界定义有
即得要证的第一式，又因为
3． 在[0，1]上定义函数列
证明级数【答案】由
在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 定义可得
与
所处的地位是对称的，故第二式也成立.
则在
处有
从
而时，
有
及
有
恒成立. 所以对于任
意
取
当n>N时，对任意的由柯两准则知，级数而正项级数优级数
在[0，1]上一致收敛. 若
发散，
这与
存在优级数. 特别取，有
不存在
发散.
所以级数为优级数矛盾，因此级数
二、解答题
4． 设
令求驻点：
求
..
的最大最小值.
【答案】(1) 先考查内部情形，利用求条件极值的拉格朗日乘数法
显然要有
或
当
时，由
此时无解；
当
时，由
在驻点处的值：
虽然
是不定矩阵，但不能否定内部达极值.
注：矩阵HL 正定、负定只是条件极值的充分条件，而非取到条件极值的必要条件. (2) 再讨论边界上的几种情况： 1)
2)
3)
(3) 综合以上所得，最小值为1.
5． 利用归结原则计算下列极限：
【答案】⑴令
则有
由归结原则，得
（2）令
，则
由归结原则，得
在
上的最大值为