2017年浙江理工大学理学院601数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为
内的递增函数. 证明
:
与
【答案】
即
对
在在时有
内单调递增，
取
内有上界，从而有上确界，记
使
得
故
类似可证
2． 证明：
当
时一致收敛.
对
取
则
当由
知
都存在，且
由上确界定义
知
【答案】方法一
而
. 关于x 单调递减，且
所以当
时，
一致收敛于0.
由狄利克雷判别法知
当方法二 对
时一致收敛
作变换
即
则
由狄利克雷判别法知该积分收敛，从而对递减且一致有界，即
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该积分一致收敛，又关于x 单调
由阿贝尔判别法知，当
3． 设
【答案】因为
于是，
或
即
证明
：
所以
(
当时
或
对) ，即
一致收敛。
二、解答题
4． 在什么条件下，函数
【答案】（1）设c=0,
此时
见，当c=0时，当且仅当
（2）设
此时
的反函数就是它本身？
要使反函数存在必有
或
的定义域为
要使它的反函数存在，必须有除当成立.
综上所述，当且仅当就是它本身.
5． 设
并且a+d=0或
时，函数
的反函数
它的反函数是
等式由此可知，当
要对时，当且仅
时也
函数
的反函数是
即（a+d）（a —d ）=0, b （a+d）=0.可
时，它的反函数就是它本身.
它们是同一函数的充要条件是
外的一切实数成立. 去分母后，再比较x 的系数，得到
时，它的反函数就是它本身. 另外，注意到在情形（1）中，
这里max 表示取最大值函数，求f （x ）的原函数.
当
时，有
【答案】f （x ）的原函数为
当时，有
所以f （x ）的原函数为
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6． 求下列函数的导函数：
【答案】
故
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