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一、填空题

1． 设L 为圆周

【答案】-2π 【解析】 2． 若级数定_____。

【答案】收敛；发散

3． （1）函数f （x ）在[a，b]上有界是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件，而f （x ）在[a，b]上连续是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件;

（2）对常积分

，它的变上限积分上非负、连续的函数f （x ）收敛的_____条件。

一定______。

在

上有界是反

绝对收敛，则级数

必定_____；若级数

条件收敛，则级数

必

。

的正向，则

_____。

（3）绝对收敛的反常积分

【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收敛

4． 点（2, 1, 0）到3x+4y+5z=0的距离d=_____。

【答案】

【解析】根据点到面的距离的计算公式可知

5． 部分和数列

【答案】充要

6． 已知曲线L 为曲面

【答案】【解析】将

代入

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有界是正顶级数收敛的_____条件。

的交线，则_____。

得z=1，则曲线L 的参数方程为

7．

_____。

【答案】

【解析】交换积分次序，得

8． 设函

数

，单位向

量

，

_____。

【答案】

【解析】由函数

得

则

即

。

9． 设为锥面

介于z=0和z=1之间的部分，则

_____。【答案】

【解析】

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则

二、计算题

10．边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。

【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为

，面积为adx ，因此压力为

图

11．利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:

及

及

及

。

和，于是

因此

（用极坐标）

消去z ，

解得

及

；

（含有z 轴的部分）

【答案】（1）解法一：利用直角坐标计算。由

，即在xOy 面上的投影区域D xy 为

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