2017年上海海洋大学海洋科学学院601高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、填空题
1． 若数列
收敛，则级数
_____。
【答案】收敛 【解析】级数
的部分和数列为
2． 当a=_____, b=_____时微分。
【答案】【解析】
若要使满足
则 3． 已知级数
【答案】【解析】由于
收敛，则a 应满足_____。
恰为某函数的全微分，
则需满足，解得
则
。
。结合题意知，需要
恰为函数
_____的全
则原级数与级数
同敛散，而当且仅当时级数才收敛。
4． 部分和数列
【答案】充要 5． 设
有界是正顶级数收敛的_____条件。
是由方程所确定的隐函数，则
【答案】1
【解析】将x=0代入原方程可得y=0 方程再次求导得 6． 设
【答案】0 【解析】因为
，所以
，其中函数f （u ）可微，则
=_____.
两端对x 求导，有
，将x=0、y=0代入可得，所以
再将x=0、y=0、
代入可得
。
，
二、计算题
7． 设函数f （x ）在数集X 上有定义，试解：函数f （x ）在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界 又有下界。
【答案】设f （x ）在X 上有界，即存在M>0，使得
故
即f （x ）在X 上有上界M ，下界-M. 。 反之，设f （x ）在X 上有上界K l ，下界K 2，即
，取
界。
8．
求函数向的方向导数。
【答案】因为
，则有，即f （x ）在X 上有
在点
处沿方向角为的方
所以
9． 计算曲线积分
，其中L 为圆周
，L 的方向为逆时针方向。
，Q （x ，y ）均无意义。现取r 【答案】在L 所围的区域内的点（0，0）处，函数P （x ，y ）
为适当小的正数，使 圆周l （取逆时针向）:x=rcost，y=rsint（t 从0变到27t ）位于L 所围的区域，可应用格林公式，在D 上，有
内，则在由L 和1所围成的复连通区域D 上（图）
图
于是由格林公式得
从而
10．计算下列曲面积分：
，其中是界于z=0及z=H之间的圆柱面
，
的外侧；
，其中为半球面
，其中为球面
【答案】（1）将分成zOx 面上的投影区域均为
1和
2两片，
1为
；
其
中
为
锥
面
的上侧；
的外侧。 ，
2为
，1和2在
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