2017年上海海洋大学海洋科学学院601高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 曲面
【答案】
与平面
，使得曲面在此点的切平面于平
面得，曲面
在的法向量
处的法向量
为
平行，
平行。由曲面方
程，它应该与已知平面
即
，解得
故所求切平面方程为
即
2． 设C 为曲线
【答案】-1
【解析】解法一：由于关，又
，则
解法二：由以上分析知该线积分与路径无关，改换积分路径，从
，则
3． 设D 是由不等
式
在极坐标下先
【答案】
与
后的二次积分为_____。
及
所确定，则二重积
分
到
再到
，则该线积分与路径无
上从
到
的曲线段，则
=_____。
。
平行的切平面的方程是_____。
【解析】由题意，设曲面上有
点
4． 级数
【答案】
收敛的充要条件是a 应满足_____。
【解析】由题意得
当a>0时收敛，当a<0时发散，当a=0时，原级数为
发散，则原级数收
则原级数
敛的充要条件a>0。
5． 设f （x ）为周期为4的可导奇函数, 且
【答案】1 【解析】当知
6． 已知向量_____。
【答案】1
【解析】由题意知，令
，则
又
，则
，故
要求r 取最小值，则可求
的极值。故令且
，解得
时，r 取到极小值，也是最小值，此时r=1.
则当c 满足条件a=b×c 时，r 的最小值为
, 即
时, ,
为周期为4的可导奇函数,
,
为任意常数, 由
。
可
, 则
=_____
二、计算题
7． 计算抛物线y>0，故有
从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。
【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设
8． 求函数
【答案】
在点
处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。
由方向导数与梯度的关系可知，最快，其方向导数为
沿
方向减少最快，其方向导数为
9． 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为需求函数分 别为
总成本函数为
试问:厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大? 最大总利润为多少? 【答案】解法一:总收入函数为
总利润函数为
由极值的必要条件，得方程组
在
处沿
的方向增加
和，销售量分别为和，
解此方程组，得。
时，
由问题的实际意义可知，厂家获得总利润最大的市场售价必定存在，故当
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