2017年上海海洋大学海洋科学学院601高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设平面曲线L 为下半圆周
【答案】π
【解析】将曲线方程转化为参数方程：
则
2． 设曲线
【答案】216π 【解析】
解法一：再用参数方程化为定积分：
解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线
，分别位于上半平面与下半平面，并
则有
，取逆时针方向，则
_____。
，则曲线积分
_____。
，均为逆时针方向，见下图。
其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。
围成的区域记为
，它们的面积相等为3π。在
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上用格林公式得
解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分= 3． 设
【答案】0 【解析】
, 则
对y 为偶函数，则。
具有二阶连续偏导数，则
_____。
4． 曲面
【答案】【解析】构造函数
将点
代入上式，即可得此点处切平面的法线向量为
5． 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有
其中f （x ）在【答案】1
【解析】由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式得
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在点
处的切平面方程为_____。
，则
，故切平面方程为
内具有连续的一阶导数，则=_____。
其中
为S 所围成的空间区域，当s 取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S 取内侧
为连续函数，且对任意的
。因此，当x>0
面时，上述三重积分前取“-”号。
由于曲面S 任意，因此空间区域也为任意，根据“若空间区域都有时，有。
6． 设C 是从球面曲线
【答案】【解析】
分别是两球面上的点）。
则
，则
。可知
上任一点到球面
_____，其中
上任一点的任一条光滑
。
二、计算题
7． 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。
（l ）如果（2）如果（3）如果
存在，但和存在，但
不存在，那么都不存在，那么
不存在，那么
存在，则
在
时的极限都不存在，但
在
不存在; 不存在;
不存在.
也
【答案】（l ）对。因为，若存在，与己知条件矛盾.
（2）错。例如时的极限存在.
（3）错。例如
8． 改换下列二次积分的积分次序:
不存在，但。
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