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一、选择题

1． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此 2． 设

A.

B.

C.

D. 【答案】B 【解析】

秩

或

但当a=1时，

3． 设

A. 合同且相似

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均为n 维列向量，A 是

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）.

线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

阶矩阵若矩阵A 的秩为则a 必为（ ）

故

秩

则A 与B （ ）.

B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为

即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵

其中得

因此A 与B 合同. 4． 设

其中A 可逆，则=（ ）.

A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为

5． 设A 是矩阵，

A. 如果B. 如果秩

则. 则

1

所以

,

故

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式使

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解

有惟一解 只有零解 有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】

未知量个数

二、分析计算题

6． 设V 是数域K 上n 维线性空间，

（1）存在

，使得

使

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是V 的s 个真子空间，证明:

（2）存在V 中一组基

【答案】 （1）因（2）令显然，且且有

是V 的真子空间，由上例，存在

，同样有

，且

, 则存在

,

，

，（构成V 的基）

线性无关, 令

线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组

7． 用正交线性替换化下列二次型为标准形:

【答案】（1）二次型

的矩阵为

求得正交矩阵

使为对角矩阵

因此, 正交线性替换

把原二次型化为标准形

（2）正交线性替换

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