2018年闽南师范大学数学与统计学院615分析与代数之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
或
但当a=1时，
秩 2． 设是非齐次线性方程组
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
，因此
不是
的特解，从而否定A ，C.
的两个不同解，
是
的基础解系，
故
阶矩阵
若矩阵A 的秩为
则a 必为（ ）
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
的基础解系. 又由
3． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
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B. 存在可逆阵P ，使. C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
其中
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
则PAQ=B
则A 与B （ ）.
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
5．
设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C.
不合同但相似
D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为
A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
使
, 故再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
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二、分析计算题
6． 化二次型
【答案】解法1配方法. 解法2
的矩阵为
因为
为标准形，并给出所用的非退化的线性替换.
故经非退化的线性替换
化为标准形
7． 若A 是实满秩矩阵，求证:存在正交阵
使
【答案】由于A 实满秩，从而
为正定阵，存在正交阵h ，使得
其中
再令