2018年闽南师范大学粒计算重点实验室912高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】未知量个数有零解.
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
. 则
也不是线性变换，比如给
,
【答案】C 【解析】而 3． 设
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
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为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
，因此不是的特解，从而否定A ，C.
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
4． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证 5． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
与
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
的解空间分别为则所以
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
二、分析计算题
6． 设
是方程
的三个根，计算
【答案】由根与系数的关系，知
将
值代入：
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表成的多项式，并将它们的
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7．
设
是酉空间V
的线性变换, 证明是酉变换的充要条件是
【答
案
】
>由酉
变换的定义,
）由已知, 即
亦即
将换成即
结合式（1）、式（2）知
因此是V 的酉变换.
8． 设不可约的有理分数是整系数多项式
的根，证明
:【答案】因为是
的根，所以
从而
的公因子]，且
比较两边系数，得
9． 化下列
矩阵成标准形:
又因为
互素，所以
是
可得
有
有
特别地
, 取
则有
本原多项式[即多项式的系数没有异于
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