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一、证明题

1． 设

【答案】令

求证：

显然有

于是

2． 证明曲线

【答案】设

上任一点的法线到原点距离等于a.

所对应的点为

则

法线斜率为

所以过点

的法线方程为

化简得

3． 应用詹森不等式证明：

⑴设

有

(2)

设

【答案】(1)

设

有则

其中由

可知

为区间

原点(0, 0) 到法线的距离

上严格凸函数. 根据詹森不等式有

即

因而

把这个不等式中的n 个正数换成

于是原不等式得证。 (2)

设代入

得

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则得到

由(1) 知为凸函数，令

于是

令

得

不等式两端同时乘以

再对

时的不等式两端分别相加，得

4． 证明不等式

【答案】作

则

所以因此，在

5． 设

在上，有

证明：

【答案】由拉格朗日中值定理知，

使得

因为上式右端大于0, 所以下面只需答:令

时，

当

原

不等式成立.

6． 设

【答案】因为

证明：

所以

或

时

，

所以是

的最大值点. 于是

从而

则

显然

是

在

上的唯一驻点. 因为当

上严格单调减少，

而

即

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于是，

或

(当对) ，即

即

二、解答题

7． 设

【答案】

试问在怎样的点集上gradu 分别满足：

即

(2) 若gradu 平行于z 轴，则

即

(3) gradu恒为零向量，则

即解得

(1) 垂直于x 轴；(2) 平行于z 轴；(3) 恒为零向量. 由gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是(0, 0, 1) , 故

8． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小。

【答案】令

所以

9． 设

是

则的极小值. 因此

由

得

舍去-1得

故

时，它与其倒数之和最小。

这里max 表示取最大值函数，求f （x ）的原函数.

当

时，有

【答案】f （x

）的原函数为

当时，有

所以f （x ）的原函数为

10．应用格林公式计算曲线积分一段.

其中L 为上半圆周从到的的直

【答案】由于原积分曲线不是封闭曲线，不能应用格林公式，加上从

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