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一、证明题

1． 设

【答案】方法一由于是当

时，有

即方法二设

由所以

2． 设

(1) 在(ii )

在试证明【答案】先证明条件(ii ) ，存在

因此，当令不妨设

由条件(i ) 得

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证明：

因有极限点列必为有界点列，故存在

当

时，有

使

令

可得

点的某邻域

上，对每个

上有定义，且满足： 存在极限

(即对任

意

成立) .

存

在

当

都有

上，关于一致地存在极限

-时，对所有

只要

存在. 当

时，且

时，且

有

就有

根据柯西准则，可证

存在.

下面证明对于

因为且

利用(ii ) 及前面的结论，当

充分接近时，可使

当所以

且

在

从而对任给的从而对上述只需取

存在

存在使当

附近

有使当

时，有

2时，有

时，就有

时，有

证

明

再将y 固定，由条件(i ) ，存在

因此

3．

设

【答案】因为又因为对上述任给的

即

_

故

I 上有界，则f 在R 上

有

正

4． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在有界.

【答案】因为f (x ) 在得

5． 试证明：函数

阶偏导数) 。

【答案】F 的等值线为故等值线在点的法向量

6． 已知在

证明:函数列【答案】由

上，函数列

一致收敛于一致收敛于在上分别一致收敛于

，它在点的切线方程为

. 即结论成立.

函数列

可得

于

是

故f (x ) 在R 上有界. 在点

上有界，所以存在M>0, 使得对任意

对于任意

即

数h 的所有整数倍从小到大依次为：

必存在惟一整数k ，使

由于h 是f 的周期，因

而

的梯度恰好是F 的等值线在点的法向量(设F 有连续一

一致收敛于

在上分别一致收敛于

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又故

在

上一致收敛于

二、计算题

7． 计算曲线积分

和点【答案】

其中

和

为连续函数; AMB

为连接点

8． 检验一个半径为2米，中心角为弦长，设量角最大误差为确

.

，现可直接测量其中心角或此角所对的的工件面积（图）

的任何路线，但与直线段AB 围成己知大小为S 的面积。

量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种方法检验的结果较为精

图

【答案】设弦长为1，则由量角引起的弦长误差

为

因此由量角引起的弦长最大误差为：

所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验，所得的结果较为准确.

9． 分别求出满足下述条件的常数a 与b :

【答案】

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其中a 为中心角为量角误差，从而当时

又因为量角时的最大误差

为