2017年四川大学数学学院652数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明抛物线
【答案】
显然当由
时
，得
即抛物线
是单调递减的. 故当
时，取最大值。
在顶点处的曲率为最大。
在顶点处的曲率为最大。
2． 举例说明：若级数
此级数仍可能不收敛. 【答案】如级数
对每个固定的p 满足条件
若P 为某一个固定的数，则
但级数
3． 设
发散.
且
求证
：
对
于
且
使
得
【答案】用反证法假设结论不成立，那
么相应产生序列又由
于
但是由
结论成立.
4．
设定义在闭矩形域
【答案】
设
时，有
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满足
推
知
使
得
于
是
即得矛盾，故反证法假设不成立，即
上，若f 对y 在为y 的连续函数，
故对
上处处连续，对x 在
当
上(且且
关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.
固定的
又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述
且
现取
便有
也存在对满足
的任何y ，
只要
只要且时，总有
因此，f 在S 上连续.
5． 证明函数
【答案】令
，所以
为积分下限函数是
6． 设
当当即
求证
时
的连续函数，所以
在
上连续.
在因此
据
上连续.(提示：证明中可利用公式
在区间在
上一致连续. 上显然一致连续.
【答案】当
时，结果显然成立.
时，利用一个显然成立的不等式：
可导出
有
因此
时，有
设令
则
取于是当
因此
在上一致连续.
二、计算题
7． 设
其中
为由方程
得
听确定的隐函数，求
及
【答案】由方程
因
故
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8． 求曲面
与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.
则根据导数的几何意义，切线对ox 轴的斜率
为所以切线与Ox 轴的交角为
9． 设以
为新的自变量变换下列方程：
【答案】⑴所以
将
代入原方程，并化简得，
所以
将上述 10．设
所有二阶偏导数都连续
，
求
【答案】由题意知
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【答案】设该角
为
代入原方程，并化简得